۴۰

۱۴۱.۳

۱۵.۷

۱۶۸.۳

۱۸.۷

برای به دست آوردن سرعتی که در الگوی بار قطارها باعث ایجاد پدیده تشدید می­شوند، تنها مدل زیر در مرجع [۵۵] مورد مطالعه قرار گرفته است:

شکل (۳-۳) الگوی بار قطار با دو محور باربر [۵۵]
سرعت­هایی که در این الگوی بار قطار باعث بروز پدیده تشدید می­ شود مانند حالت شکل (۳-۲) محاسبه می­ شود.
اما در مورد سایر الگوهای قطار هنوز رابطه مشخص و واضحی به دست نیامده است. در حال حاضر محققین از طریق تحلیل سازه پل تحت الگوی واقعی قطار در سرعت‌های مختلف توسط نرم افزارهای اجزاء محدود پاسخ سازه را کنترل و نتیجه آن را برای پیدا کردن سرعت تشدید، بررسی می­ کنند.
میرایی پل راه آهن
در تحلیل دینامیکی، میرایی سازه­ای یک پارامتر دینامیکی بسیار مهم است. خصوصیات دینامیکی در تحلیل دینامیکی مهم هستند اما به خوبی شناخته نشده­اند. پاسخ سازه یک پل در اثر بارهای متحرک، و اندازه ارتعاشات یک سازه، بسیار به میرایی سازه وابسته است. در شرایط احتمال وقوع تشدید، میرایی نقش ویژه­ای ایفا می­ کند.
میرایی یک ویژگی از مصالح ساختمانی و سازه­ها است که اغلب باعث کاهش پاسخ دینامیکی می­ شود. میرایی به مصالح پل راه آهن و وضعیت سازه وابسته است. منظور از وضعیت سازه پل، وجود یا عدم وجود لایه بالاست و ترک در اعضای پل است. بزرگی میرایی به دامنه ارتعاشات پل وابسته است. پس از عبور وسیله نقلیه، یا سایر تحریکات پل، میرایی باعث می­ شود پل به شرایط تعادل خود بازگردد. متأسفانه پیش ­بینی دقیق میرایی یک سازه در مرحله طراحی غیرممکن است. برای پل­هایی که در حال حاضر وجود دارند، مقادیر میرایی را می­توان با محاسبات کاهش لگاریتمی ارتعاش آزاد اندازه ­گیری شده، به دست آورد. در واقع لحاظ نمودن کلیه عوامل میرایی ارتعاشات پل راه آهن در محاسبات، به علت تعداد زیاد آن­ها، غیرممکن است.
میرایی پدیده­ای بسیار پیچیده است. قسمتی از انرژی منقل شده به سازه، به دلیل تغییر شکل­های پلاستیک مواد یا تغییر فرم انرژی در هنگام ارتعاش پل از بین می­روند. این انرژی ایجادشده به دلیل عبور قطار، به طور برگشت‌ناپذیری در محیط پراکنده می­ شود. در سازه پل منابع داخلی و خارجی میرایی وجود دارند. منابع داخلی میرایی شامل اصطکاک ویسکوز داخلی مصالح پل، ویژگی­های غیر هموژنی و ترک­ها می­ شود. منابع خارجی میرایی شامل اصطکاک در تکیه­گاه­ها، وجود لایه بالاست، اتصالات سازه­ای، خصوصیات ویسکوالاستیک خاک و سنگ­های زیر یا روی پایه­ها و تکیه­گاه­های پل می­ شود. [۵۶]
فرکانس­های طبیعی
فرکانس­ طبیعی از خصوصیات دینامیکی بسیار مهم در پل‌های راه آهن است. فرکانس­های طبیعی دامنه حساسیت پل به بارهای دینامیکی را توصیف می­ کند و با تعداد لرزش­ها در واحد زمان اندازه ­گیری می­ شود. این پارامتر را با f_i نشان می­ دهند که زیروند i= 1,2,3,… بیانگر ترتیب آن است. فرکانس طبیعی با فرکانس طبیعی دایروی  و پریود طبیعی  ارتباط دارد، که در معادله (۳-۴) و (۳-۵) نشان داده شده ­اند. پریود نشان­دهنده مدت زمان یک سیکل است.
(۳-۴)
(۳-۵)
برای یک سیستم مکانیکی با توزیع جرم پیوسته بینهایت فرکانس طبیعی وجود دارد؛ اما زمانی که پاسخ دینامیکی پل مد نظر باشد، تنها کوچک‌ترین فرکانس طبیعی سازه کاربرد عملی دارد. زمانی که نیروهای تحریک در دامنه وسیعی از فرکانس­ها به سیستم وارد می­ شود، سازه پل تنها فرکانس­های نزدیک به فرکانس طبیعی خود را انتخاب کرده و به آن واکنش می­دهد. به همین دلیل فرکانس­های طبیعی یک سازه اهمیت زیادی در تحلیل دینامیکی دارند.
برای یک تیر با تکیه‌گاه ساده، فرکانس طبیعی در i امین مود ارتعاش، در معادله (۳-۶) نوشته شده است. در نتیجه فرکانس طبیعی برای تیر دو دهانه طبق معادله (۳-۷) نوشته می­ شود.
[۵۶] (۳-۶)
[۵۶] (۳-۷)
که نمادهای به‌کاررفته عبارت‌اند از: i : شماره مود، L : طول دهانه تیر (m)، E : مدول الاستیسیته (N/m²) ، I : ممان اینرسی سطح مقطع تیر (m⁴)،  : جرم در واحد طول تیر (kg/m)،  : پارامتر بی بعد فرکانس می­باشند. [۵۶]
۳-۱-۲- روش­های مختلف تحلیل دینامیکی [۵۴]
۳-۱-۲-۱- تحلیل دینامیکی خطی
منظور از تحلیل خطی، تحلیل سازه با در نظر گرفتن رفتار الاستیک خطی برای اجزاء آن می­باشد. در روش تحلیل دینامیکی خطی نیروها و تغییر شکل­ها ناشی از اعمال بار دینامیکی با بهره گرفتن از روابط تعادل دینامیکی حاکم بر مدل الاستیک سازه محاسبه می­شوند.
تحلیل دینامیکی خطی خود به دو دسته ۱) روش تاریخچه زمانی و ۲) روش طیفی تقسیم می­ شود.
روش تحلیل تاریخچه زمانی
در روش تحلیل تاریخچه زمانی، پاسخ سازه با بهره گرفتن از روابط دینامیکی در گام­های زمانی کوتاه محاسبه می­ شود. این روش برای تعیین تغییر مکان­ها و نیروهای ناشی از بارهای دینامیکی در سازه­ها پر زحمت و وقت­گیر است و اغلب باید به وسیله برنامه ­های کامپیوتری محاسبه شوند.
در این روش، پاسخ­های سازه در برابر بار اعمالی به صورت لحظه به لحظه محاسبه می­ شود. روش تحلیل تاریخچه زمانی این قابلیت را دارد که در مورد کلیه سازه­ها مورد استفاده قرار بگیرد.
روش تحلیل طیفی (شبه دینامیکی)
اگر بجای تاریخچه تغییر مکان در روش تاریخچه زمانی، فقط مقادیر ماکسیمم ناشی از مودهای مختلف در نظر گرفته شود تحلیل دینامیکی سازه­ها به طور قابل ملاحظه‌ای ساده می­ شود.
چون ماکسیمم­ مودهای مختلف در یک زمان اتفاق نمی­افتد و همچنین لزوماً علامت یکسان ندارند، نمی­ توان مقادیر بیشینه‌ها را با یکدیگر جمع نمود. بهترین کاری که در یک تحلیل شبه دینامیکی یا طیفی می­توان انجام داد این است که جواب­های ماکسیمم به دست آمده از مودهای مختلف را بر اساس تئوری احتمالات ترکیب نمود. فرمول­های تقریبی مختلفی برای ترکیب کردن ماکسیمم­ها به کار می­رود که متداول­ترین آن­ها فرمول مجموع مجذور مربعات می­باشد.
در این روش با فرض رفتار الاستیک خطی سازه و با بهره گرفتن از حداکثر بازتاب کلیه مودهای نوسانی سازه که در بازتاب کل سازه اثر قابل توجهی دارند، انجام می­گیرد.
معایب روش دینامیکی تحلیل طیفی

• مبنای آنالیز مودال با توجه به مستقل بودن پریودهای ارتعاشی صورت می­گیرد و تحلیل طیفی تا زمانی عملکرد خوبی دارد که پریودها به صورت مستقل در نظر گرفته شوند. در سازه ­هایی که پتانسیل پیچش وجود داشته باشد، باعث می­ شود که فرض مستقل بودن پریودها نقض شود.

• در روش طیفی، اثر زمان لحاظ نمی­ شود.

۳-۱-۲-۲- تحلیل دینامیکی غیرخطی
منظور از تحلیل غیرخطی، تحلیل سازه با در نظر گرفتن رفتار غیرخطی اجزاء آن به دلیل رفتار غیرخطی مصالح، ترک‌خوردگی و اثرات غیرخطی هندسی سازه می­باشد.
۳-۱-۳- تحلیل دینامیکی پل‌های راه آهن
در تحلیل دینامیکی پل‌های راه آهن پارامترهای دینامیکی مهم باید همگی در محاسبات در نظر گرفته شوند. از جمله این پارامترها می­توان به سختی، میرایی و جرم سازه اشاره کرد. در مرجع [۱۲] برای محاسبه تقریبی این موارد روابط تجربی بر اساس درون‌یابی نمودارهای برداشت‌شده از آزمایش میدانی تعدادی پل ارائه شده که در ادامه به آن­ها می­پردازیم.
سختی دینامیکی پل
پل‌های راه آهن اغلب به وسیله تیر ایده‌آل‌سازی می­شوند، که فرمول فرکانس طبیعی آن به شکل زیر نوشته می­ شود:
[۱۲] (۳-۸)
که در آن  طول دهانه پل،  حل معادلات فرکانس که به شرایط مرزی دهانه پل وابسته است (جداول ۱-۴ تا ۵-۴ مرجع [۱۲] ). ثابت B برای تیرها که مشخص کننده سختی دینامیکی آن­ها می­باشد؛ و با فرمول زیر محاسبه می­ شود:
[۱۲] (۳-۹)